Regulación automática: SISTEMAS CONTINUOS

Los sistemas continuos en el tiempo son aquellos que evolucionan de forma suave en el tiempo, es decir, las magnitudes que representan a sus elementos son funciones continuas de la variable independiente t (tiempo).

El modelo matemático de un sistema continuo puede ser una ecuación diferencial ordinaria (EDO) o una ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP), según que los parámetros del sistema se consideren concentrados o distribuidos.

Ecuación diferencial ordinaria

Si y es una función desconocida:

$y: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

de x siendo $y^{(n)}$ la enésima derivada de y, entonces una ecuación de la forma

(1) $F(x,y,y',\ \dots,\ y^{(n-1)})=y^{(n)}$

es llamada una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n. Para funciones vectoriales,

$y: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^m$ ,

la ecuación (1) es llamada un sistema de ecuaciones lineales diferenciales de dimensión m.

Cuando una ecuación diferencial de orden n tiene la forma

$F\left(x, y, y', y'',\ \dots,\ y^{(n)}\right) = 0$

es llamada una ecuación diferencial implícita, mientras que en la forma

$F\left(x, y, y', y'',\ \dots,\ y^{(n-1)}\right) = y^{(n)}$

es llamada una ecuación diferencial explícita.

Una ecuación diferencial que no depende de x es denominada autónoma.

Se dice que una ecuación diferencial es lineal si F puede ser escrita como una combinación lineal de las derivadas de y

$y^{(n)} = \sum_{i=0}^{n-1} a_i(x) y^{(i)} + r(x)$

siendo, tanto a_i(x) como r(x) funciones continuas de x. La función r(x) es llamada el término fuente (traducido del inglés source term); si r(x)=0 la ecuación diferencial lineal es llamada homogénea, de lo contrario es llamada no homogénea.

Ecuación diferencial en Derivadas Parciales

Una ecuación en derivadas parciales (EDP) para la función $u(x_1,...x_n)\,$ tiene la siguiente forma:

$F(x_1, \cdots x_n,u,\frac{\partial}{\partial x_1}u, \cdots \frac{\partial}{\partial x_n}u,\frac{\partial^2}{\partial x_1 \partial x_1}u, \frac{\partial^2}{\partial x_1 \partial x_2}u, \cdots ) = 0 \,$

$F\,$ es una función lineal de $u\,$ y sus derivadas si:

$F(u+w)=F(u)+F(w)\,$ y $F(ku)=k \cdot F(u)$

Si $F\,$ es una función lineal de $u\,$ y sus derivadas, entonces la EDP es lineal. Ejemplos comunes de EDPs son la ecuación del calor, la ecuación de onda y la ecuación de Laplace.

Una ecuación en derivadas parciales simple puede ser:

$\frac{\part u}{\part x}=0\,$

donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial es:

$u(x,y) = f(y),\,$

donde f es una función arbitraria de y. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es

$\frac{du}{dx}=0,\,$

que tiene la siguiente solución

$u(x) = c,\,$

Donde c es cualquier valor constante (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es única; de esta forma se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función $\scriptstyle f(y)\,$ puede determinarse si $\scriptstyle u\,$ se especifica sobre la línea $\scriptstyle x=0\,$ .

Regulación automática

martes, 9 de octubre de 2012

SISTEMAS CONTINUOS

Ecuación diferencial ordinaria

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