Para explicar el concepto del lugar de las raíces introduciré una descripción simplificada para comprender que es y cual es su función y después introduciré un ejercicio realizado para la obtención de las raíces de un polinomio característico entre otros apartados.
El lugar de las raíces sirve para estudiar como influye la ganancia en bucle abierto en el comportamiento dinámico de un sistema realimentado.
Es una herramienta para el análisis dinámico de sistemas realimentados:
- Estabilidad
- Rapidez del sistema en cadena cerrada al variar k
- Oscilaciones
El lugar de las raíces se define como el lugar geométrico de los polos de la función de transferencia en lazo cerrado, cuando uno o varios parámetros de la función de transferencia varían entre -∞ e ∞.
Para poder realizar el metodo del lugar de las raíces debemos de cumplir unas reglas para la correcta representación e interpretación. Las reglas a seguir son:
REGLA 1
- Rapidez del sistema en cadena cerrada al variar k
- Oscilaciones
El lugar de las raíces se define como el lugar geométrico de los polos de la función de transferencia en lazo cerrado, cuando uno o varios parámetros de la función de transferencia varían entre -∞ e ∞.
Para poder realizar el metodo del lugar de las raíces debemos de cumplir unas reglas para la correcta representación e interpretación. Las reglas a seguir son:
REGLA 1
Una rama del lugar de las raíces es el lugar geométrico de una raíz cuando K varía entre
cero e infinito.
El número de ramas del lugar de las raíces es igual al número de polos de la función de transferencia en lazo abierto, o lo que es lo mismo, el orden de la ecuación característica del sistema en lazo cerrado.
REGLA 2
Cada rama comienza en un polo de la función de transferencia en lazo abierto y finaliza en un cero de la función de transferencia en lazo abierto.
REGLA 3
Un punto en el eje real pertenece al lugar de las raíces (para K>0) si la suma de polos y ceros situados a la derecha del mismo es impar.
REGLA 4
El gráfico del lugar de las raíces es siempre simétrico respecto del eje real.
REGLA 5
Las ramas del lugar de las raíces que terminan en θ =180o(2k+1) el infinito son asintóticas a rectas cuyos ángulos n−m con respecto al eje real vienen dados por un
ángulo θ.
REGLA 6
Las asíntotas cortan al eje real en un punto situado a una distancia σ0 del origen (centroide).
REGLA 7
Los ángulos de salida de los polos y de llegada a los ceros son los que forman las tangentes a las correspondientes ramas del lugar de las raíces en el polo o cero considerado.
REGLA 8
Los puntos de ruptura son aquellos puntos donde el lugar de las raíces, al aumentar K, pasan del eje real al plano complejo (puntos de dispersión) o pasan del plano complejo al eje real (puntos de confluencia).
Los puntos de ruptura se corresponden con máximos (puntos de dispersión) o mínimos (puntos de confluencia) de la función K respecto de s.
REGLA 9
Los puntos de corte del lugar de las raíces con el eje imaginario se corresponden con los polos que hacen que el sistema en lazo cerrado sea críticamente estable.
El número de ramas del lugar de las raíces es igual al número de polos de la función de transferencia en lazo abierto, o lo que es lo mismo, el orden de la ecuación característica del sistema en lazo cerrado.
REGLA 2
Cada rama comienza en un polo de la función de transferencia en lazo abierto y finaliza en un cero de la función de transferencia en lazo abierto.
REGLA 3
Un punto en el eje real pertenece al lugar de las raíces (para K>0) si la suma de polos y ceros situados a la derecha del mismo es impar.
REGLA 4
El gráfico del lugar de las raíces es siempre simétrico respecto del eje real.
REGLA 5
Las ramas del lugar de las raíces que terminan en θ =180o(2k+1) el infinito son asintóticas a rectas cuyos ángulos n−m con respecto al eje real vienen dados por un
ángulo θ.
REGLA 6
Las asíntotas cortan al eje real en un punto situado a una distancia σ0 del origen (centroide).
REGLA 7
Los ángulos de salida de los polos y de llegada a los ceros son los que forman las tangentes a las correspondientes ramas del lugar de las raíces en el polo o cero considerado.
REGLA 8
Los puntos de ruptura son aquellos puntos donde el lugar de las raíces, al aumentar K, pasan del eje real al plano complejo (puntos de dispersión) o pasan del plano complejo al eje real (puntos de confluencia).
Los puntos de ruptura se corresponden con máximos (puntos de dispersión) o mínimos (puntos de confluencia) de la función K respecto de s.
REGLA 9
Los puntos de corte del lugar de las raíces con el eje imaginario se corresponden con los polos que hacen que el sistema en lazo cerrado sea críticamente estable.
Dos métodos:
1. Aplicar Routh-Hurwitz
2. Sustituir s=jω y resolver
EJERCICIO DE LUGAR DE LAS RAICES
En el ejercicio que introduzco a continuación se ha realizado hasta el apartado 3 ya que los dos siguientes han sido realizados por MATLAB.
1. Aplicar Routh-Hurwitz
2. Sustituir s=jω y resolver
EJERCICIO DE LUGAR DE LAS RAICES
En el ejercicio que introduzco a continuación se ha realizado hasta el apartado 3 ya que los dos siguientes han sido realizados por MATLAB.
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