LUGAR DE LAS RAICES

Para explicar el concepto del lugar de las raíces introduciré una descripción simplificada para comprender que es y cual es su función y después introduciré un ejercicio realizado para la obtención de las raíces de un polinomio característico entre otros apartados.

El lugar de las raíces sirve para estudiar como influye la ganancia en bucle abierto en el comportamiento dinámico de un sistema realimentado.

Es una herramienta para el análisis dinámico de sistemas realimentados:

- Estabilidad
- Rapidez del sistema en cadena cerrada al variar k 
- Oscilaciones 


El lugar de las raíces se define como el lugar geométrico de los polos de la función de transferencia en lazo cerrado, cuando uno o varios parámetros de la función de transferencia varían entre -∞ e ∞. 

Para poder realizar el metodo del lugar de las raíces debemos de cumplir unas reglas para la correcta representación e interpretación. Las reglas a seguir son:

REGLA 1

Una rama del lugar de las raíces es el lugar geométrico de una raíz cuando K varía entre cero e infinito.
El número de ramas del lugar de las raíces es igual al número de polos de la función de transferencia en lazo abierto, o lo que es lo mismo, el orden de la ecuación característica del sistema en lazo cerrado.

REGLA 2 
Cada rama comienza en un polo de la función de transferencia en lazo abierto y finaliza en un cero de la función de transferencia en lazo abierto.

REGLA 3
Un punto en el eje real pertenece al lugar de las raíces (para K>0) si la suma de polos y ceros situados a la derecha del mismo es impar.

REGLA 4
El gráfico del lugar de las raíces es siempre simétrico respecto del eje real.

REGLA 5
Las ramas del lugar de las raíces que terminan en θ =180o(2k+1) el infinito son asintóticas a rectas cuyos ángulos n−m con respecto al eje real vienen dados por un
ángulo θ.

REGLA 6
Las asíntotas cortan al eje real en un punto situado a una distancia σ0 del origen (centroide). 

REGLA 7
Los ángulos de salida de los polos y de llegada a los ceros son los que forman las tangentes a las correspondientes ramas del lugar de las raíces en el polo o cero considerado.

REGLA 8
Los puntos de ruptura son aquellos puntos donde el lugar de las raíces, al aumentar K, pasan del eje real al plano complejo (puntos de dispersión) o pasan del plano complejo al eje real (puntos de confluencia).

Los puntos de ruptura se corresponden con máximos (puntos de dispersión) o mínimos (puntos de confluencia) de la función K respecto de s.

REGLA 9
Los puntos de corte del lugar de las raíces con el eje imaginario se corresponden con los polos que hacen que el sistema en lazo cerrado sea críticamente estable.

Dos métodos:
1. Aplicar Routh-Hurwitz
2. Sustituir s=jω y resolver 


EJERCICIO DE LUGAR DE LAS RAICES

En el ejercicio que introduzco a continuación se ha realizado hasta el apartado 3 ya que los dos siguientes han sido realizados por MATLAB.

RESPUESTA EN FRECUENCIA

El análisis de respuesta de frecuencia es la técnica donde una señal de prueba senoidal es usada para medir puntos sobre la respuesta de frecuencia de una función de transferencia.

La gran ventaja del análisis de respuesta en frecuencia se basa en su frecuencia selectiva natural. Solo un componente del respecto de frecuencia es extraído y la correspondiente respuesta en esa frecuencia puede ser desarrollada con gran precisión. Esto tiene significativas ventajas donde el sistema bajo consideración tiene resonantes características.

Para analizar la respuesta en frecuencia utilizaremos sistemas distintos de simulación que son Anylogic y Matlab.

SIMULACIÓN CON ANYLOGIC

En este pantallazo se puede observar el diagrama en función del tiempo de la posición del ejercicio del carrito anteriormente realizado. Podemos observar como gracias al controlador PID se estabiliza la posición del carrito a lo largo de un tiempo determinado.

SIMULACIÓN MEDIANTE MATLAB. DIAGRAMAS DE BODE Y NYQUIST

Para realizar esta simulación antes introduciré unos conceptos básicos sobre la representación mediante los diagramas de respuesta en el tiempo, de Bode y de Nyquist.

DIAGRAMA DE RESPUESTA EN EL TIEMPO

Este diagrama representa la misma gráfica que hemos podido obtener mediante la simulación con Anylogic.

DIAGRAMA DE BODE



El diagrama de Bode es un tipo de representación gráfica de funciones complejas (en nuestro caso, funciones de transferencia) dependientes de una variable real (la frecuencia angular o lineal).

En un diagrama de Bode se representa por un lado el módulo de la

función ( H(ω)) y por otro la fase(φ(ω)). La figura 1 muestra como ejemplo el diagrama de Bode de un filtro paso baja de primer orden, cuya función de transferencia es:

A la hora de elaborar un diagrama de Bode hay que prestar atención al hecho de que la escala correspondiente al eje de frecuencias es logarítmica. ¿Qué es una escala logarítmica y por qué usarla? Las escalas logarítmicas se emplean cuando se quieren representar datos que varían entre sí varios órdenes de magnitud (como en el ejemplo de la figura 1, en el que la frecuencia varía entre 1 rad/s y 106 rad/s). Si hubiésemos empleado una escala lineal, sólo apreciaríamos bien los datos correspondientes a las frecuencias mayores mientras que, por ejemplo, todos los puntos por debajo de 104 rad/s se

20 log |H|

φ (rad)

representarían en la centésima parte del eje de abscisas. Esto se muestra, como ejemplo, en la Figura 2. 

DIAGRAMA DE BODE DEL MODELO DEL CARRITO EN MATLAB

DIAGRAMA DE NYQUIST

La definición de estabilidad adoptada y los criterios de equivalencia nos permiten decidir si

una transferencia dada corresponde a un sistema estable o inestable.

Basta ubicar la posición de los polos de esa transferencia para saberlo.

Este es un criterio de estabilidad absoluto: es decir, nos informa si un sistema es estable o

no.

Muchas veces no alcanza con esa información: es necesario saber si un sistema es estable,

cuán cerca está de dejar de serlo.

Con ese propósito, y para tener una visión más completa del problema se han desarrollado

otros criterios, de los cuales en el presente módulo analizaremos el criterio de Nyquist.

A partir de herramientas de variable compleja, hemos estudiado el criterio de Nyquist, que

es simplemente una técnica que permite detectar mediante la construcción de un diagrama,

la presencia de polos en el semiplano derecho, responsables de la inestabilidad de una

transferencia.

Hemos aplicado ese criterio a diversos casos de complejidad creciente, confirmando

algunos resultados conocidos (caso del integrador), y encontrando otros nuevos.

Definimos parámetros que nos informan sobre la estabilidad relativa (márgenes de ganancia

y fase).

Dimos una visión superficial de los diagramas de Flujo de Señales, que permiten visualizar

con claridad los lazos de realimentación, y finalmente describimos métodos clásicos de

estabilización de sistemas inestables. 

DIAGRAMA DE NYQUIST DEL MODELO DEL CARRITO EN MATLAB